Правило Крамера

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда

, то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при

или

рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица исходной системы -- квадратная, порядка , и -- столбцы высоты . Предположим, что $\vert A\vert\ne0$ . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства (15.2) на $A^{-1}$ , получим

$\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad Ex=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad x=A^{-1}b.$

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

$\displaystyle x=A^{-1}b.$

(15.3)

Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть ${{\Delta}=\vert A\vert}$ , ${\Delta}_i$ -- определитель матрицы, полученной из матрицы заменой столбца с номером на столбец свободных членов, ${i=1,2,\dots,n}$ :

$\begin{multline*} {\Delta}_1=\left\vert\begin{array}{cccc}b_{1}&a_{12}&\dots&a_... ...dotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_{n}\end{array}\right\vert. \end{multline*}$

Теорема 15.1 (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными ${\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

$\displaystyle x_1=\frac{{\Delta}_1}{{\Delta}},\quad x_2=\frac{{\Delta}_2}{{\Delta}},\quad \dots,\quad x_n=\frac{{\Delta}_n}{{\Delta}}.$

Доказательство. По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

$\displaystyle A^{-1}=\frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\do... ...\dots&A_{n2}\\ \hdotsfor{4}\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$

где $A_{ij}$ -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

$\displaystyle x= \frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&... ..._n\\ \hdotsfor{1}\\ A_{1n}b_1+A_{2n}b_2+\ldots+A_{nn}b_n\end{array}\right).$

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя ${\Delta}_1$ по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя ${\Delta}_2$ по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому ${x=\dfrac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{c}{\Delta}_1\\ {\Delta}_2\\ \vdots\\ {\Delta}_n\end{array}\right)}$ , откуда и следует утверждение теоремы.

Пример 15.1 Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3, \\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Решение. Выписываем матрицу системы ${A=\left(\begin{array}{rrr}2&-1&1\\ 3&1&5\\ 5&0&3\end{array}\right)}$ и столбец свободных членов ${b=\left(\begin{array}{r}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)}$ .

Находим определитель системы: ${{\Delta}=\left\vert\begin{array}{rrr}2&-1&1\\ 3&1&5\\ 5&0&3\end{array}\right\vert=-15}$ . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

$\displaystyle {\Delta}_1=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-1&1\\ -3&1&5\\ 2&0&3\en... ...3=\left\vert\begin{array}{rrr}2&-1&1\\ 3&1&-3\\ 5&0&2\end{array}\right\vert=20.$

Итак,

$\displaystyle x_1=\frac{-18}{-15}=\frac65,\qquad x_2=\frac{-1}{-15}=\frac1{15}, \qquad x_3=\frac{20}{-15}=-\frac43.$

Ответ: ${x_1=\frac65,\quad x_2=\frac1{15},\quad x_3=-\frac43}$ .

Замечание 15.1 При кажущейся простоте правила Крамера применяется оно для систем более, чем из трех уравнений, только в каких-то исключительных случаях. Дело в том, что вычисление определителей требует выполнения большого числа арифметических операций и существует способ, требующий меньшей вычислительной работы. Этот способ будет описан позже.

Замечание 15.2 При решении системы уравнений приходится выполнять довольно большой объем вычислений. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы обнаружить эту ошибку, рекомендуется выполнить проверку ответа, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Если все уравнения превратятся в верные равенства, то решение найдено верно. В противном случае при вычислениях где-то допущена ошибка.